программа занятий по математике

 составлена: с учетом требований ФИПИ
 

9 класс

• 1.1. Натуральные числа.
• 1.1.1. Десятичная система счисления. Римская нумерация.
• 1.1.2. Арифметические действия над натуральными числами.
• 1.1.3. Степень с натуральным показателем.
• 1.1.4. Делимость натуральных чисел.
• 1.1.5. Простые и составные числа, разложение натурального числа на простые множители.
• 1.1.6. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
• 1.1.7. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
• 1.1.8. Деление с остатком.
• 1.2. Дроби.
• 1.2.1. Обыкновенная дробь, основное свойство дроби. Сравнение дробей.
• 1.2.2. Арифметические действия с обыкновенными дробями.
• 1.2.3. Нахождение части от целого и целого по его части.
• 1.2.4. Десятичная дробь, сравнение десятичных дробей.
• 1.2.5. Арифметические действия с десятичными дробями.
• 1.2.6. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной дроби.
• 1.2.7. Представление обыкновенной дроби в виде десятичной дроби.
• 1.3. Рациональные числа.
• 1.3.1. Целые числа.
• 1.3.2. Модуль (абсолютная величина) числа.
• 1.3.3. Сравнение рациональных чисел.
• 1.3.4. Арифметические действия с рациональными числами.
• 1.3.5. Степень с целым показателем.
• 1.3.6. Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок.
• 1.3.7. Законы арифметических действий.
• 1.4. Действительные числа.
• 1.4.1. Квадратный корень из числа.
• 1.4.2. Корень третьей степени.
• 1.4.3. Нахождение приближенного значения корня.
• 1.4.4. Понятие об иррациональном числе. Десятичные приближения иррациональных чисел.
• 1.4.5. Действительные числа как бесконечные десятичные дроби.
• 1.4.6. Сравнение действительных чисел.
• 1.5. Измерения, приближения, оценки.
• 1.5.1. Единицы измерения длины, площади, объёма, массы, времени, скорости.
• 1.5.2. Размеры объектов окружающего мира (от элементарных частиц до Вселенной), длительность процессов в окружающем мире.
• 1.5.3. Представление зависимости между величинами в виде формул.
• 1.5.4. Проценты. Нахождение процента от величины и величины по её проценту.
• 1.5.5. Отношение, выражение отношения в процентах.
• 1.5.6. Пропорция. Пропорциональная и обратно пропорциональная зависимости.
• 1.5.7. Округление чисел. Прикидка и оценка результатов вычислений.
• 1.5.8. Выделение множителя – степени десяти в записи числа.

• 2.1. Буквенные выражения (выражения с переменными).
• 2.1.1. Буквенные выражения. Числовое значение буквенного выражения.
• 2.1.2. Допустимые значения переменных, входящих в алгебраические выражения.
• 2.1.3. Подстановка выражений вместо переменных.
• 2.1.4. Равенство буквенных выражений, тождество.
• 2.1.5. Преобразования выражений.
• 2.1.6. Свойства степени с целым показателем.
• 2.2. Многочлены.
• 2.2.1. Многочлен. Сложение, вычитание, умножение многочленов.
• 2.2.2. Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности; формула разности квадратов.
• 2.2.3. Разложение многочлена на множители.
• 2.2.4. Квадратный трехчлен.
• 2.2.5. Теорема Виета.
• 2.2.6. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.
• 2.2.7. Степень и корень многочлена с одной переменной.
• 2.3. Алгебраические дроби.
• 2.3.1. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей.
• 2.3.2. Действия с алгебраическими дробями.
• 2.3.3. Рациональные выражения и их преобразования.
• 2.3.4. Свойства квадратных корней и их применение в вычислениях.

• 3.1. Уравнения.
• 3.1.1. Уравнение с одной переменной, корень уравнения.
• 3.1.2. Линейное уравнение.
• 3.1.3. Квадратное уравнение, формула корней квадратного уравнения.
• 3.1.4. Решение рациональных уравнений.
• 3.1.5. Примеры решения уравнений высших степеней. Решение уравнений методом замены переменной. Решение уравнений методом разложения на множители.
• 3.1.6. Уравнение с двумя переменными; решение уравнения с двумя переменными.
• 3.1.7. Система уравнений; решение системы.
• 3.1.8. Система двух линейных уравнений с двумя переменными; решение подстановкой и алгебраическим сложением.
• 3.1.9. Уравнение с несколькими переменными.
• 3.1.10. Решение простейших нелинейных систем.
• 3.2. Неравенства.
• 3.2.1. Числовые неравенства и их свойства.
• 3.2.2. Неравенство с одной переменной. Решение неравенства.
• 3.2.3. Линейные неравенства с одной переменной.
• 3.2.4. Системы линейных неравенств.
• 3.2.5. Квадратные неравенства.
• 3.3. Текстовые задачи.
• 3.3.1. Решение задач на составление уравнений (текстовых задач).

• 4.1. Понятие последовательности.
• 4.2. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена арифметической прогрессии.
• 4.3. Формула суммы первых нескольких членов арифметической прогрессии.
• 4.4. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена геометрической прогрессии.
• 4.5. Формула суммы первых нескольких членов геометрической прогрессии.
• 4.6. Сложные проценты.

• 5.1. Понятие функции. Область определения функции. Способы задания функции.
• 5.2. График функции, возрастание и убывание функции, наибольшее и наименьшее значения функции, нули функции, промежутки знакопостоянства функции.
• 5.3. Примеры графических зависимостей, отражающих реальные процессы.
• 5.4. Функция, описывающая прямую пропорциональную зависимость, её график.
• 5.5. Линейная функция, её график, геометрический смысл коэффициентов.
• 5.6. Функция, описывающая обратно пропорциональную зависимость, её график. Гипербола.
• 5.7. Квадратичная функция, её график. Парабола. Координаты вершины параболы, ось симметрии.
• 5.8. Графики функций y=√x, y= 3√x, y=|x|.
• 5.9. Использование графиков функций для решения уравнений и систем уравнений.

• 6.1. Координатная прямая.
• 6.1.1. Изображение чисел точками координатной прямой.
• 6.1.2. Геометрический смысл модуля.
• 6.1.3. Числовые промежутки: интервал, отрезок, луч.
• 6.2. Декартовы координаты на плоскости.
• 6.2.1. Декартовы координаты на плоскости; координаты точки.
• 6.2.2. Координаты середины отрезка.
• 6.2.3. Формула расстояния между двумя точками плоскости.
• 6.2.4. Уравнение прямой, угловой коэффициент прямой, условие параллельности прямых.
• 6.2.5. Уравнение окружности.
• 6.2.6. Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными и их систем.
• 6.2.7. Графическая интерпретация неравенств с двумя переменными и их систем.

• 7.1. Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин.
• 7.1.1. Начальные понятия геометрии.
• 7.1.2. Угол. Прямой угол. Острые и тупые углы.
• 7.1.3. Вертикальные и смежные углы.
• 7.1.4. Биссектриса угла и её свойства.
• 7.1.5. Прямая. Параллельность и перпендикулярность прямых.
• 7.1.6. Отрезок. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку.
• 7.1.7. Перпендикуляр и наклонная к прямой.
• 7.1.8. Понятие о геометрическом месте точек.
• 7.1.9. Преобразования плоскости. Движения. Симметрия.
• 7.2. Треугольник.
• 7.2.1. Высота, медиана, биссектриса, средняя линия треугольника.
• 7.2.2. Точки пересечения серединных перпендикуляров, биссектрис, медиан, высот или их продолжений.
• 7.2.3. Равнобедренный и равносторонний треугольники. Свойства и признаки равнобедренного треугольника.
• 7.2.4. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.
• 7.2.5. Признаки равенства треугольников.
• 7.2.6. Неравенство треугольника.
• 7.2.7. Сумма углов треугольника. Внешние углы треугольника.
• 7.2.8. Зависимость между величинами сторон и углов треугольника.
• 7.2.9. Теорема Фалеса.
• 7.2.10. Подобие треугольников, коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников.
• 7.2.11. Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0º до 180º.
• 7.2.12. Решение прямоугольных треугольников.
• 7.2.13. Основное тригонометрическое тождество.
• 7.2.14. Теорема косинусов и теорема синусов.
• 7.3. Многоугольники.
• 7.3.1. Параллелограмм, его свойства и признаки.
• 7.3.2. Прямоугольник, квадрат, ромб, их свойства и признаки.
• 7.3.3. Трапеция, средняя линия трапеции; равнобедренная трапеция.
• 7.3.4. Сумма углов выпуклого многоугольника.
• 7.3.5. Правильные многоугольники.
• 7.4. Окружность и круг.
• 7.4.1. Центральный, вписанный угол; величина вписанного угла.
• 7.4.2. Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей.
• 7.4.3. Касательная и секущая к окружности.
• 7.4.4. Равенство отрезков касательных к окружности, проведённых из одной точки.
• 7.4.5. Окружность, вписанная в треугольник.
• 7.4.6. Окружность, описанная около треугольника.
• 7.4.7. Вписанные и описанные окружности правильного многоугольника.
• 7.5. Измерение геометрических величин.
• 7.5.1. Длина отрезка, длина ломаной линии, периметр многоугольника.
• 7.5.2. Расстояние от точки до прямой.
• 7.5.3. Длина окружности.
• 7.5.4. Градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности.
• 7.5.5. Площадь и её свойства. Площадь прямоугольника.
• 7.5.6. Площадь параллелограмма.
• 7.5.7. Площадь трапеции.
• 7.5.8. Площадь треугольника.
• 7.5.9. Площадь круга, площадь сектора.
• 7.5.10. Формулы объёма прямоугольного параллелепипеда, куба, шара.
• 7.6. Векторы на плоскости.
• 7.6.1. Вектор, длина (модуль) вектора.
• 7.6.2. Равенство векторов.
• 7.6.3. Операции над векторами (сумма векторов, умножение вектора на число).
• 7.6.4. Угол между векторами.
• 7.6.5. Коллинеарные векторы, разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
• 7.6.6. Координаты вектора.
• 7.6.7. Скалярное произведение векторов.

• 8.1. Описательная статистика.
• 8.1.1. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков.
• 8.1.2. Средние значения результатов измерений.
• 8.2. Вероятность.
• 8.2.1. Частота события, вероятность.
• 8.2.2. Равновозможные события и подсчёт их вероятности.
• 8.2.3. Представление о геометрической вероятности.
• 8.3. Комбинаторика.
• 8.3.1. Решение комбинаторных задач: перебор вариантов, комбинаторное правило умножения.

11 класс

• ЕГЭ по математике имеет двухуровневую структуру.
• Базовый ЕГЭ по математике состоит из 20 заданий. Экзаменационная работа состоит из одной части, включающей 20 заданий с кратким ответом базового уровня сложности.
• Профильный ЕГЭ по математике состоит из 19 заданий. Экзаменационная работа состоит из двух частей.
• Часть 1 содержит 8 заданий с кратким ответом (порядковые номера заданий: 1-8).
• Часть 2 содержит 4 задания с кратким ответом (порядковые номера заданий: 9-12) и 7 заданий с развернутым ответом (порядковые номера заданий: 13-19).

• 1.1. Числа, корни и степени.
• 1.1.1. Целые числа.
• 1.1.2. Степень с натуральным показателем.
• 1.1.3. Дроби, проценты, рациональные числа.
• 1.1.4. Степень с целым показателем.
• 1.1.5. Корень степени n>1 и его свойства.
• 1.1.6. Степень с рациональным показателем и ее свойства.
• 1.1.7. Свойства степени с действительным показателем.
• 1.2. Основы тригонометрии.
• 1.2.1. Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла.
• 1.2.2. Радианная мера угла.
• 1.2.3. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.
• 1.2.4. Основные тригонометрические тождества.
• 1.2.5. Формулы приведения.
• 1.2.6. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов.
• 1.2.7. Синус и косинус двойного угла.
• 1.3. Логарифмы.
• 1.3.1. Логарифм числа.
• 1.3.2. Логарифм произведения, частного, степени.
• 1.3.3. Десятичный и натуральный логарифмы, число e.
• 1.4. Преобразование выражений.
• 1.4.1. Преобразование выражений, включающих арифметические операции.
• 1.4.2. Преобразование выражений, включающих операции возведения в степень.
• 1.4.3. Преобразование выражений, включающих корни натуральной степени.
• 1.4.4. Преобразование тригонометрических выражений.
• 1.4.5. Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования.
• 1.4.6. Модуль (абсолютная величина) числа.

• 2.1. Уравнения.
• 2.1.1. Квадратные уравнения.
• 2.1.2. Рациональные уравнения.
• 2.1.3. Иррациональные уравнения.
• 2.1.4. Тригонометрические уравнения.
• 2.1.5. Показательные уравнения.
• 2.1.6. Логарифмические уравнения.
• 2.1.7. Равносильность уравнений, систем уравнений.
• 2.1.8. Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными.
• 2.1.9. Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных.
• 2.1.10. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений.
• 2.1.11. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений с двумя переменными и их систем.
• 2.1.12. Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.
• 2.2. Неравенства.
• 2.2.1. Квадратные неравенства.
• 2.2.2. Рациональные неравенства.
• 2.2.3. Показательные неравенства.
• 2.2.4. Логарифмические неравенства.
• 2.2.5. Системы линейных неравенств.
• 2.2.6. Системы неравенств с одной переменной.
• 2.2.7. Равносильность неравенств, систем неравенств.
• 2.2.8. Использование свойств и графиков функций при решении неравенств.
• 2.2.9. Метод интервалов.
• 2.2.10. Изображение на координатной плоскости множества решений неравенств с двумя переменными и их систем.

• 3.1. Определение и график функции.
• 3.1.1. Функция, область определения функции.
• 3.1.2. Множество значений функции.
• 3.1.3. График функции. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.
• 3.1.4. Обратная функция. График обратной функции.
• 3.1.5. Преобразование графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат.
• 3.2. Элементарное исследование функций.
• 3.2.1. Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания.
• 3.2.2. Четность и нечетность функции.
• 3.2.3. Периодичность функции.
• 3.2.4. Ограниченность функции.
• 3.2.5. Точки экстремума (локального максимума и минимума) функции.
• 3.2.6. Наибольшее и наименьшее значения функции.
• 3.3. Основные элементарные функции.
• 3.3.1. Линейная функция, ее график.
• 3.3.2. Функция, описывающая обратную пропорциональную зависимость, ее график.
• 3.3.3. Квадратичная функция, ее график.
• 3.3.4. Степенная функция с натуральным показателем, ее график.
• 3.3.5. Тригонометрические функции, их графики.
• 3.3.6. Показательная функция, ее график.
• 3.3.7. Логарифмическая функция, ее график.

• 4.1. Производная.
• 4.1.1. Понятие о производной функции, геометрический смысл производной.
• 4.1.2. Физический смысл производной, нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком.
• 4.1.3. Уравнение касательной к графику функции.
• 4.1.4. Производные суммы, разности, произведения, частного.
• 4.1.5. Производные основных элементарных функций.
• 4.1.6. Вторая производная и ее физический смысл.
• 4.2. Исследование функций.
• 4.2.1. Применение производной к исследованию функций и построению графиков.
• 4.2.2. Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах.
• 4.3. Первообразная и интеграл.
• 4.3.1. Первообразные элементарных функций.
• 4.3.2. Примеры применения интеграла в физике и геометрии.

• 5.1. Планиметрия.
• 5.1.1. Треугольник.
• 5.1.2. Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат.
• 5.1.3. Трапеция.
• 5.1.4. Окружность и круг.
• 5.1.5. Окружность, вписанная в треугольник и окружность, описанная около треугольника.
• 5.1.6. Многоугольник. Сумма углов выпуклого многоугольника.
• 5.1.7. Правильные многоугольники. Вписанная окружность и описанная окружность правильного многоугольника.
• 5.2. Прямые и плоскости в пространстве.
• 5.2.1. Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых.
• 5.2.2. Параллельность прямой и плоскости, признаки и свойства.
• 5.2.3. Параллельность плоскостей, признаки и свойства.
• 5.2.4. Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трех перпендикулярах.
• 5.2.5. Перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства.
• 5.2.6. Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур.
• 5.3. Многогранники.
• 5.3.1. Призма, ее основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма.
• 5.3.2. Параллелепипед; куб; симметрия в кубе, в параллелепипеде.
• 5.3.3. Пирамида, ее основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида.
• 5.3.4. Сечения куба, призмы, пирамиды.
• 5.3.5. Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).
• 5.4. Тела и поверхности вращения.
• 5.4.1. Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка.
• 5.4.2. Конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка.
• 5.4.3. Шар и сфера, их сечения.
• 5.5. Измерение геометрических величин.
• 5.5.1. Величина угла, градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности.
• 5.5.2. Угол между прямыми в пространстве; угол между прямой и плоскостью; угол между плоскостями.
• 5.5.3. Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника.
• 5.5.4. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости; расстояние между параллельными и скрещивающимися прямыми, расстояние между параллельными плоскостями.
• 5.5.5. Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора.
• 5.5.6. Площадь поверхности конуса, цилиндра, сфера.
• 5.5.7. Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара.
• 5.6. Координаты и векторы.
• 5.6.1. Координаты на прямой, декартовы координаты на плоскости и в пространстве.
• 5.6.2. Формула расстояния между двумя точками; уравнение сферы.
• 5.6.3. Вектор, модуля вектора, равенство векторов; сложение векторов и умножение вектора на число.
• 5.6.4. Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
• 5.6.5. Компланарные векторы. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.
• 5.6.6. Координаты вектора; скалярное произведение векторов; угол между векторами.